El blog de las Matemàticas: Teorema de Pitágoras:

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el área del cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de las áreas del cuadrado de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Teorema de Pitágoras:

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras de Samos.

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes $a \,$ y $b \,$ , y la medida de la hipotenusa es $c \,$ , se establece que:

$c^2 = b^2 + a^2 \,$

De la ecuación anterior se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

**Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas**
$a = +\sqrt {c^2 - b^2}$	$b= +\sqrt{c^2-a^2}$	$c = +\sqrt {a^2 + b^2}$

Demostraciones:

El Teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de Magíster matheseos.

Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.

En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.

China: el Chou Pei Suan Ching, y el Chui Chang Suang Shu

El Chou Pei es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C. Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Chui Chang parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.

El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.

Demostración:

Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:

$a^2 + b^2 = c^2\,$

Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \,$

Ya que $(b-a)^2 = (a-b)^2 \,$ .
Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:

$c^2 = 4 \cdot \left( \frac{a \cdot b}{2} \right) + a^2 - 2ab + b^2= a^2 + b^2$

Con lo cual queda demostrado el teorema.

Demostraciones supuestas de Pitágoras:
Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.^[1]
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.